Curva de Gauss uma distribuição normal importantíssima que demonstra uma série de fenômenos físicos e financeiros , possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.
Johann Carl Friedrich Gauss foi matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, analise matemática, geometria diferencial, geodésica, eletrostática, astronomia e óptica. Alguns o referem como o como princeps mathematicorum (em latim, "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos") e um "grande matemático desde a antiguidade", Gauss tinha uma marca influente em muitas áreas da matemática e da ciência e é um dos mais influentes na história da matemática e refere-se à matemática como "a rainha das ciências".
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso). A área em azul escuro está a menos de um desvio padrão (σ) da média. Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquanto dois desvios padrões desde a média (azul médio e escuro) representam cerca de 95%, e três desvios padrões (azul claro, médio e escuro) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra 68-95-99.7 ou a regra empírica, ou a regra dos 3-sigmas.
No gráfico abaixo vemos o exemplo de uma Curva de Gauss (Distribuição Normal):
Johann Carl Friedrich Gauss foi matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, analise matemática, geometria diferencial, geodésica, eletrostática, astronomia e óptica. Alguns o referem como o como princeps mathematicorum (em latim, "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos") e um "grande matemático desde a antiguidade", Gauss tinha uma marca influente em muitas áreas da matemática e da ciência e é um dos mais influentes na história da matemática e refere-se à matemática como "a rainha das ciências".
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso). A área em azul escuro está a menos de um desvio padrão (σ) da média. Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquanto dois desvios padrões desde a média (azul médio e escuro) representam cerca de 95%, e três desvios padrões (azul claro, médio e escuro) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra 68-95-99.7 ou a regra empírica, ou a regra dos 3-sigmas.
No gráfico abaixo vemos o exemplo de uma Curva de Gauss (Distribuição Normal):
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
No abaixo vídeo temos o exemplo de como isto acontece:
Fonte: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1DTRzPRfu6s
Neste outro vídeo temos a explicação de como isto acontece:
Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=0iy57t8G8L0
Segue a explicação teórica:
A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média \mu e variância \sigma^2 (de forma equivalente, desvio padrão \sigma) é assim definida:
Se a variável aleatória X segue esta distribuição escreve-se: X ~ N(\mu, \sigma^2). Se \mu = 0 e \sigma = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a:
Exercício:
Num jogo de dados, Cláudio paga R$20,00 a Lúcio e lança 3 dados. Se
sair face 1 em um dos dados apenas, Cláudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois
dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair 1 nos três dados, Cláudio ganha R$
80,00. Calcule o lucro médio de Cláudio em uma jogada.
Resolução:
Para resolver esse problema, vamos organizar nossos dados numa tabela. Para isso
precisamos lembrar:
P(1 e 1 e 1) = (1/6).(1/6).(1/6) = 1/216 Îtodas as faces 1
Seja Y qualquer número diferente de 1, a probabilidade de sair duas faces 1 é:
P(1 e 1 e Y) + P(1 e Y e 1) + P(Y e 1 e 1) = (1/6).(1/6).(5/6) + (1/6).(1/6).(5/6) +
(1/6).(1/6).(5/6) = 15/216
Da mesma forma que o anterior, a probabilidade de sair apenas uma face 1 será:
P(1 e Y e Y) = 3. (1/6).(5/6).(5/6) = 75/216
E a probabilidade de não sair nenhuma face 1:
P(Y e Y e Y) = (5/6).(5/6).(5/6) = 125/216
Repare que X é o número de divisores, que variam de 1 até
4. Então, é necessário montar uma segunda tabela com os
valores possíveis de X e suas respectivas probabilidades.
X P(X) X.P(X)
1 1/10 1/10
2 4/10 8/10
3 2/10 6/10
4 3/10 12/10
E(X) = (1/10) + (8/10) + (6/10) + (12/10) = (27/10)
E(X) = 2,7.
21
X P(X) X.P(X)
+60 1/216 60/216
+30 15/216 450/216
0 75/216 0
-20 125/216 -2500/216
E(X) = (60 + 450 + 0 - 2500)/216 = -9,21
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